[선형대수학] - 벡터 공간 (Vector Space)의 정의와 성질

$\mathbb{R}^n$의 부분 공간 (Subspace)

벡터의 집합 $U$가 다음의 성질을 만족하면, $U$를 $\mathbb{R}^n$의 subspace라고 한다.

• $\textbf{0} \in U$
• 모든 $\textbf{x}, \textbf{y} \in U$에 대해 $\textbf{x} + \textbf{y} \in U$ (합 연산에 대해 닫힘)
• 모든 $a \in \mathbb{R}$, $\textbf{x} \in U$에 대해 $a\textbf{x} \in U$ (스칼라 곱 연산에 대해 닫힘)

 

Null 공간 (Null Space)

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 null 공간은 아래와 같이 정의된다.

null $A = \{\textbf{x} \in \mathbb{R}^n \; | \; A\textbf{x} = \textbf{0} \}$

즉, null $A$는 $A\textbf{x} = \textbf{0}$를 만족하는 $\textbf{x}$의 집합이다.

 

Span

벡터의 집합 $X = \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\}$의 모든 선형 결합을 $X$의 span이라 한다.

$span \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\} = \{\alpha_1\textbf{x}_1 + \alpha_2\textbf{x}_2 + \cdots + \alpha_k\textbf{x}_k \; | \; \alpha_i \in \mathbb{R}\}$

$V = span \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\}$이면, $V$는 $ \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\}$에 의해 span되었다고 한다.

 

선형 독립 (Linearly Independent)

집합 $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\}$가 아래를 만족하면 $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\}$는 선형 독립 (linearly independent)이라고 한다.

$ \alpha_1\textbf{x}_1 + \alpha_2\textbf{x}_2 + \cdots + \alpha_k\textbf{x}_k = \textbf{0} \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$

어떠한 집합 $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\}$가 선형 독립인지는 아래의 과정을 통해 확인할 수 있다.

1. 임의의 선형 결합을 만들고 이를 $\textbf{0}$이라고 한다: $\alpha_1\textbf{x}_1 + \alpha_2\textbf{x}_2 + \cdots + \alpha_k\textbf{x}_k = \textbf{0}$.
2. 모든 $k$에 대해 $\alpha_k = 0$인지 확인한다

 

선형 독립인 집합의 부분집합

$S = \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_m\}$이 선형 독립이면, $S$의 부분집합도 선형 독립이다.

증명:

1. 귀류법을 이용하기 위해 $k < m$에 대하여 $S^{'} = \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\}$가 선형 독립이 아니라고 가정한다.
2. 그러면 $S = \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, .., \textbf{x}_k, ..., \textbf{x}_m\}$에는 원소들의 선형 결합으로 만들 수 있는 원소가 포함되어 있으므로, $S$가 선형 독립이라는 기본 가정과 모순이 생긴다.
3. 따라서 $S$의 부분집합 $S^{'} = \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\}$는 선형 독립이다.

 

열 벡터의 특성

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 열 벡터 $\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$에 대해 다음이 성립한다.

• $\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$이 선형 독립 $\Leftrightarrow$ $A\textbf{x} = \textbf{0}$이면 $\textbf{x} = \textbf{0}$
• $\mathbb{R}^m = span \{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$ $\Leftrightarrow$ $\forall \textbf{b} \in \mathbb{R}^m$, $\exists \textbf{x}$ s.t. $A\textbf{x} = \textbf{b}$

 

역행렬의 존재와 동치인 명제

행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$와 $A$의 열 벡터 $\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$에 대해 다음의 명제들은 동치이다.

• $A$의 역행렬이 존재한다
• $\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$는 선형 독립이다. $(\because A\textbf{x} = \textbf{0} \Rightarrow \textbf{x} = \textbf{0})$
• $\mathbb{R}^n = span \{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\} \; (\because A\textbf{x} = \textbf{b} \Rightarrow \textbf{x} = A^{-1}\textbf{b})$
• $A$의 행 벡터들은 선형 독립이다 $(\because$ $A$의 역행렬이 존재 $\Leftrightarrow$ $A^T$의 역행렬이 존재$)$

 

Fundamental Theorem

$U \subseteq \mathbb{R}^n, U = span \{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_m\}$와 $U$에 속하는 $k$개의 선형 독립인 모든 벡터에 대해 $k \leq m$이 성립한다.

증명:

1. $\textbf{u}_1, \textbf{u}_2, ..., \textbf{u}_k$를 선형 독립인 벡터들도 정의하고, 귀류법을 이용하여 증명하기 위해 $k > m$이라 가정한다.
2. $\textbf{u}_1 = \alpha_1\textbf{c}_1 + \alpha_2\textbf{c}_2 + \cdots + \alpha_m\textbf{c}_m$이며, $\textbf{u}_1 \neq \textbf{0}$이기 때문에 적어도 하나의 $\alpha_i$는 0이 아니다.
3. $\alpha_1 \neq 0$이라 가정하면, $\textbf{u}_1$으로 $\textbf{c}_1$을 나타낼 수 있으므로 $U = span \{\textbf{u}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_m\}$이다.
4. 위의 과정 3을 $m$번째 벡터까지 반복하면 $U = span \{\textbf{u}_1, \textbf{u}_2, ..., \textbf{u}_m\}$이다.
5. $U = span \{\textbf{u}_1, \textbf{u}_2, ..., \textbf{u}_m\}$이므로, $\textbf{u}_1, \textbf{u}_2, ..., \textbf{u}_m$의 선형 결합으로 $\textbf{u}_{m+1} \in U$을 나타낼 수 있다.
6. 따라서 $\{\textbf{u}_1, \textbf{u}_2, ..., \textbf{u}_k\}$가 선형 독립이라면, 그것의 부분집합도 선형 독립이라는 공리를 위배하므로 $k \leq m$이다.

 

공간의 기저 (Basis)

$U \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 아래를 만족하는 $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_m\}$을 $U$의 기저 (basis)라고 한다.

• $\forall i \in \{1, 2, ..., m\}, \textbf{x}_i \in U$
• $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_m\}$는 선형 독립
• $U = span \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_m\}$

또한, $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_m\}$와 $\{\textbf{y}_1, \textbf{y}_2, ..., \textbf{y}_k\}$가 모두 $U$의 기저라면, $m = k$이다.

 

공간의 차원 (Dimension)

$\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_m\}$를 기저로 갖는 $U$의 차원 (dimension)은 아래와 같이 정의된다.

dim $U = m$

$U$에 존재하는 $B = \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_m\}$에 대하여, dim $U = m$이면 아래가 성립한다.

$B$가 선형 독립 $\Leftrightarrow$ $U = span B$

 

부분공간과 차원

$U$와 $W$가 각각 $\mathbb{R}^n$의 부분공간이고, $U \subseteq W$이면 아래가 성립한다.

• dim $U$ $\leq$ dim $W$
• dim $U$ = dim $W$ $\Leftrightarrow$ $U = W$