[선형대수학] - 행렬의 유사성 (Similarity)과 대각화 (Diagonalization)

유사 행렬 (Similar Matrix)

두 정방행렬 (square matrix) $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$에 대해 다음을 만족하면, $A$와 $B$는 유사 행렬 관계에 있다고 하며 $A \sim B$라 표기한다.

$\exists P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ s.t. $B = P^{-1}AP$

유사 행렬의 정의에 따라 다음이 성립한다.

• $\forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}, A \sim A$
• $A \sim B \Rightarrow B \sim A \; (\because B = P^{-1}AP \Rightarrow A = PBP^{-1} = Q^{-1}BQ)$
• $A \sim B$ and $B \sim C \Rightarrow A \sim C$

 

대각합 (Trace)

행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$에 대한 대각합 (trace)는 아래와 같이 정의된다.

$tr(A) = \sum_{i=1}^n A_{ii}$

대각합은 cyclic property가 아래와 같이 성립한다.

$tr(ABCD) = tr(BCDA) = tr(CDAB) = tr(DABC)$

 

유사 행렬에 대한 성질

두 행렬 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$가 유사 행렬 관계에 있다면 ($A \sim B$), 두 행렬은 동일한 행렬식 (determinant), 계수 (rank), 대각합 (trace), 고유값 (eigenvalue)을 갖는다.

• 행렬식: $det(B) = det(P^{-1}AP) = det(P^{-1})det(A)det(P) = det(A)$
• 계수: $rank(B) = rank(P^{-1}AP) = rank(P^{-1}A) = rank(A^T (P^{-1})^T) = rank(A)$
• 대각합: $tr(B) = tr(P^{-1}AP) = tr(APP^{-1}) = tr(A)$
• 고유값: $B\textbf{v} = \lambda\textbf{v} \Leftrightarrow P^{-1}AP\textbf{v} = \lambda\textbf{v} \Leftrightarrow AP\textbf{v} = \lambda P\textbf{v}$. 따라서 $A$는 $P\textbf{v}$라는 고유 벡터를 가지며, $A$와 $B$는 $\lambda$라는 동일한 고유값을 갖는다.

 

행렬의 고유벡터와 대각화

행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$가 $n$개의 고유벡터 $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_n\}$을 가질 때, 다음은 동치이다.

• $A$를 대각화할 수 있다 (diagonalizable).
• $P = [\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_n]$가 역행렬을 갖는다 $(\because AP = P \; diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n))$.
• $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_n\}$가 선형 독립이다.
• $\mathbb{R}^n = span \{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_n\}$

 

고유벡터의 선형 독립성

행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$에 대해 고유값 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$에 대응하는 고유벡터를 $\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_n$이라 할 때, $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_n\}$은 선형 독립이다.

증명:

1. 수학적 귀납법을 이용한다. $n=1$에 대해 정의에 따라 $\{\textbf{x}_1\}$는 선형 독립이다.
2. $n=k$에 대해 $\{\textbf{x}_1, \textbf{x}_2, ..., \textbf{x}_k\}$가 선형 독립이라고 가정한다.
3. $n=k+1$에 대해 $\alpha_1\textbf{x}_1 + \alpha_2\textbf{x}_2 + ... + \alpha_{k+1}\textbf{x}_{k+1} = \textbf{0} \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_{k+1} = 0$을 보인다.
4. $\alpha_1\textbf{x}_1 + \alpha_2\textbf{x}_2 + ... + \alpha_{k+1}\textbf{x}_{k+1} = \textbf{0}$에 $A$를 곱하면 고유값의 정의에 따라 다음과 같다: $\alpha_1\lambda_1\textbf{x}_1 + \alpha_2\lambda_2\textbf{x}_2 + ... + \alpha_{k+1}\lambda_{k+1}\textbf{x}_{k+1} = \textbf{0}$
5. $\alpha_1\lambda_1\textbf{x}_1 + \alpha_2\lambda_2\textbf{x}_2 + ... + \alpha_{k+1}\lambda_{k+1}\textbf{x}_{k+1} = \textbf{0}$에 $\alpha_1\lambda_{k+1}\textbf{x}_1 + \alpha_2\lambda_{k+1}\textbf{x}_2 + ... + \alpha_{k+1}\lambda_{k+1}\textbf{x}_{k+1} = \textbf{0}$을 빼면 다음과 같다: $\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_{k+1})\textbf{x}_1 + \alpha_2(\lambda_2 - \lambda_{k+1})\textbf{x}_2 + ... + \alpha_k(\lambda_k - \lambda_{k+1})\textbf{x}_k = \textbf{0}$
6. $n=k$에서의 가정과 고유값의 정의 $\forall i \neq j, \lambda_i \neq \lambda_j$에 따라 $\alpha_1\textbf{x}_1 + \alpha_2\textbf{x}_2 + ... + \alpha_{k+1}\textbf{x}_{k+1} \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_k = 0$이다.
7. 고유벡터의 정의에 따라 $\textbf{x}_{k+1} \neq \textbf{0}$이므로, $\alpha_{k+1}\textbf{x}_{k+1} = \textbf{0} \Rightarrow \alpha_{k+1} = 0$이다.
8. 따라서 $\alpha_1\textbf{x}_1 + \alpha_2\textbf{x}_2 + ... + \alpha_{k+1}\textbf{x}_{k+1} = \textbf{0} \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_{k+1} = 0$이 성립하므로, $A$의 고유벡터는 선형 독립이다.

 

고유공간 (Eigenspace)

행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$의 고유값 $\lambda$에 대해 고유공간 (eigenspace)은 다음과 같이 정의된다.

$E_{\lambda}(A) = \{\textbf{x} \in \mathbb{R}^n \; | \; A\textbf{x} = \lambda\textbf{x}\}$

null 공간의 정의에 의해 $E_{\lambda}(A) = null(\lambda I - A)$이다.

 

행렬 대각화 알고리즘

행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$는 다음의 과정을 통해 대각화될 수 있다.

1. $A$의 모든 고유값과 고유벡터를 찾는다.
2. 서로 다른 고유벡터가 $n$개 있을 경우, 각 고유벡터를 열 벡터로 갖는 행렬 $P$를 만든다.
3. $P^{-1}AP = diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n)$로 $A$를 대각화한다.