[선형대수학] - 행렬의 열 공간, 행 공간, 계수 (Rank)

열 공간과 행 공간 (Column and Row Spaces)

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$의 열 벡터를 $\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$라 할 때, $A$의 열 공간 $colA\subseteq {\mathbb{R}}^m$는 다음과 같이 정의된다.

$colA=span\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$

$A$의 행 벡터를 $\{{\mathbf{\text{r}}}_1,{\mathbf{\text{r}}}_2,...,{\mathbf{\text{r}}}_m\}$이라 할 때, $A$의 행 공간 $rowA\subseteq {\mathbb{R}}^n$은 다음과 같이 정의된다.

$rowA=span\{{\mathbf{\text{r}}}_1,{\mathbf{\text{r}}}_2,...,{\mathbf{\text{r}}}_m\}$

 

열 공간에 대한 선형 변환

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$와 역행렬을 갖는 행렬 $B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$에 대하여 $A$와 $AB$는 같은 열 공간을 갖는다:

$colA=colAB$

증명:

1. 열 공간의 정의에 의해 $\mathbf{\text{v}}\in colA$에 대하여 $A\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{v}}$를 만족하는 $\mathbf{\text{x}}\in {\mathbb{R}}^n$가 존재한다.
2. $B$가 역행렬을 가지므로, $\mathbf{\text{v}}=A\mathbf{\text{x}}=AB\mathbf{\text{y}}$를 만족하는 $\mathbf{\text{y}}\in {\mathbb{R}}^n$가 $\mathbf{\text{y}}=B^{-1}\mathbf{\text{x}}$로 항상 존재한다.
3. 그러므로 $\mathbf{\text{v}}\in colA$이면 $\mathbf{\text{v}}\in colAB$이다.
4. 반대로 $\mathbf{\text{u}}=AB\mathbf{\text{y}}=A\mathbf{\text{x}}$를 만족하는 $\mathbf{\text{x}}\in {\mathbb{R}}^n$가 $\mathbf{\text{x}}=B\mathbf{\text{y}}$로 항상 존재하므로, $\mathbf{\text{u}}\in colAB$이면 $\mathbf{\text{u}}\in colA$이다.
5. 따라서, $B$가 역행렬을 가지면 $spanA=spanAB$이다.

 

기본 연산에 대한 열 공간과 행 공간

행렬 $A$에 대해 기본 행 연산 (elementary row operation)을 적용하여 만들어진 행렬을 $B$라 할 때, 아래가 성립한다.

$rowA=rowB$

$A$에 기본 열 연산 (elementary column operation)을 적용하여 만들어진 행렬을 $C$라 하면, 아래가 성립힌다.

$colA=colC$

 

행렬의 계수 (Rank)

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$에 대해 계수 (rank)는 아래와 같이 정의될 수 있다.

• 행사다리꼴 (Row-echelon form)에서 $\mathbf{\text{0}}$이 아닌 행의 수
• $rowA$의 차원
• $colA$의 차원

따라서, $A$의 계수를 $r$이라 하면 다음이 성립한다.

$r=dim(rowA)=dim(colA)$

 

전치행렬의 계수

행렬 $A$에 대해 $rowA=col{A}^T$이므로, 다음이 성립한다.

$rank(A)=rank(A^T)$

 

행 공간과 행렬의 계수

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$의 행 벡터와 열 벡터를 각각 $\{{\mathbf{\text{r}}}_1,{\mathbf{\text{r}}}_2,...,{\mathbf{\text{r}}}_m\}$과 $\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$이라 할 때, 다음은 동치이다.

• $rankA=n$
• ${\mathbb{R}}^n=span\{{\mathbf{\text{r}}}_1,{\mathbf{\text{r}}}_2,...,{\mathbf{\text{r}}}_m\}$ $(\because dimU=dimW\iff U=W)$
• $\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$는 ${\mathbb{R}}^n$에서 선형 독립 $(\because dim(rowA)=dim(colA)=n)$
• $A^{T}A$는 역행렬을 갖는다.
• $A\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}}\Rightarrow \mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}}$

 

열 공간과 행렬의 계수

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$의 행 벡터와 열 벡터를 각각 $\{{\mathbf{\text{r}}}_1,{\mathbf{\text{r}}}_2,...,{\mathbf{\text{r}}}_m\}$과 $\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$이라 할 때, 다음은 동치이다.

• $rankA=m$
• ${\mathbb{R}}^m=span\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$
• $\{{\mathbf{\text{r}}}_1,{\mathbf{\text{r}}}_2,...,{\mathbf{\text{r}}}_m\}$는 ${\mathbb{R}}^m$에서 선형 독립
• $A{A}^T$는 역행렬을 갖는다.