[선형대수학] - 행렬의 열 공간, 행 공간, 계수 (Rank)

열 공간과 행 공간 (Column and Row Spaces)

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 열 벡터를 $\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$라 할 때, $A$의 열 공간 $col \; A \subseteq \mathbb{R}^m$는 다음과 같이 정의된다.

$col \; A = span\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$

$A$의 행 벡터를 $\{\textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m\}$이라 할 때, $A$의 행 공간 $row \; A \subseteq \mathbb{R}^n$은 다음과 같이 정의된다.

$row \; A = span\{\textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m\}$

 

열 공간에 대한 선형 변환

행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$와 역행렬을 갖는 행렬 $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$에 대하여 $A$와 $AB$는 같은 열 공간을 갖는다:

$col \; A = col \; AB$

증명:

1. 열 공간의 정의에 의해 $\textbf{v} \in col \; A$에 대하여 $A\textbf{x} = \textbf{v}$를 만족하는 $\textbf{x} \in \mathbb{R}^n$가 존재한다.
2. $B$가 역행렬을 가지므로, $\textbf{v} = A\textbf{x} = AB\textbf{y}$를 만족하는 $\textbf{y} \in \mathbb{R}^n$가 $\textbf{y} = B^{-1}\textbf{x}$로 항상 존재한다.
3. 그러므로 $\textbf{v} \in col \; A$이면 $\textbf{v} \in col \; AB$이다.
4. 반대로 $\textbf{u} = AB\textbf{y} = A\textbf{x}$를 만족하는 $\textbf{x} \in \mathbb{R}^n$가 $\textbf{x} = B\textbf{y}$로 항상 존재하므로, $\textbf{u} \in col \; AB$이면 $\textbf{u} \in col \; A$이다.
5. 따라서, $B$가 역행렬을 가지면 $span\;A = span\;AB$이다.

 

기본 연산에 대한 열 공간과 행 공간

행렬 $A$에 대해 기본 행 연산 (elementary row operation)을 적용하여 만들어진 행렬을 $B$라 할 때, 아래가 성립한다.

$row \; A \; = \; row \; B$

$A$에 기본 열 연산 (elementary column operation)을 적용하여 만들어진 행렬을 $C$라 하면, 아래가 성립힌다.

$col \; A \; = \; col \; C$

 

행렬의 계수 (Rank)

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$에 대해 계수 (rank)는 아래와 같이 정의될 수 있다.

• 행사다리꼴 (Row-echelon form)에서 $\textbf{0}$이 아닌 행의 수
• $row \; A$의 차원
• $col \; A$의 차원

따라서, $A$의 계수를 $r$이라 하면 다음이 성립한다.

$r = dim(row \; A) = dim(col \; A)$

 

전치행렬의 계수

행렬 $A$에 대해 $row \; A = col \; A^T$이므로, 다음이 성립한다.

$rank(A) = rank(A^T)$

 

행 공간과 행렬의 계수

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 행 벡터와 열 벡터를 각각 $\{\textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m\}$과 $\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$이라 할 때, 다음은 동치이다.

• $rank \; A = n$
• $\mathbb{R}^n = span \{\textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m \}$ $(\because dim \; U = dim \; W \Leftrightarrow U = W)$
• $\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$는 $\mathbb{R}^n$에서 선형 독립 $(\because dim(row\;A) = dim(col\;A) = n)$
• $A^T A$는 역행렬을 갖는다.
• $A\textbf{x} = \textbf{0} \Rightarrow \textbf{x} = \textbf{0}$

 

열 공간과 행렬의 계수

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 행 벡터와 열 벡터를 각각 $\{\textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m\}$과 $\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$이라 할 때, 다음은 동치이다.

• $rank \; A = m$
• $\mathbb{R}^m = span \{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$
• $\{\textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m\}$는 $\mathbb{R}^m$에서 선형 독립
• $AA^T$는 역행렬을 갖는다.