[선형대수학] - 벡터 공간 (Vector Space)의 정의와 성질

${\mathbb{R}}^n$의 부분 공간 (Subspace)

벡터의 집합 $U$가 다음의 성질을 만족하면, $U$를 ${\mathbb{R}}^n$의 subspace라고 한다.

• $\mathbf{\text{0}}\in U$
• 모든 $\mathbf{\text{x}},\mathbf{\text{y}}\in U$에 대해 $\mathbf{\text{x}}+\mathbf{\text{y}}\in U$ (합 연산에 대해 닫힘)
• 모든 $a\in \mathbb{R}$, $\mathbf{\text{x}}\in U$에 대해 $a\mathbf{\text{x}}\in U$ (스칼라 곱 연산에 대해 닫힘)

 

Null 공간 (Null Space)

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$의 null 공간은 아래와 같이 정의된다.

null $A=\{\mathbf{\text{x}}\in {\mathbb{R}}^n|A\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}}\}$

즉, null $A$는 $A\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}}$를 만족하는 $\mathbf{\text{x}}$의 집합이다.

 

Span

벡터의 집합 $X=\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_k\}$의 모든 선형 결합을 $X$의 span이라 한다.

$span\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_k\}=\{{\alpha }_1{\mathbf{\text{x}}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{\text{x}}}_2+\cdots +{\alpha }_k{\mathbf{\text{x}}}_k|{\alpha }_i\in \mathbb{R}\}$

$V=span\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_k\}$이면, $V$는 $\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_k\}$에 의해 span되었다고 한다.

 

선형 독립 (Linearly Independent)

집합 $\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_k\}$가 아래를 만족하면 $\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_k\}$는 선형 독립 (linearly independent)이라고 한다.

${\alpha }_1{\mathbf{\text{x}}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{\text{x}}}_2+\cdots +{\alpha }_k{\mathbf{\text{x}}}_k=\mathbf{\text{0}}\Rightarrow {\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_k=0$

어떠한 집합 $\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_k\}$가 선형 독립인지는 아래의 과정을 통해 확인할 수 있다.

1. 임의의 선형 결합을 만들고 이를 $\mathbf{\text{0}}$이라고 한다: ${\alpha }_1{\mathbf{\text{x}}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{\text{x}}}_2+\cdots +{\alpha }_k{\mathbf{\text{x}}}_k=\mathbf{\text{0}}$.
2. 모든 $k$에 대해 ${\alpha }_k=0$인지 확인한다

 

선형 독립인 집합의 부분집합

$S=\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_m\}$이 선형 독립이면, $S$의 부분집합도 선형 독립이다.

증명:

1. 귀류법을 이용하기 위해 $k<m$에 대하여 $S^{{}^{\prime }}=\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_k\}$가 선형 독립이 아니라고 가정한다.
2. 그러면 $S=\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,..,{\mathbf{\text{x}}}_k,...,{\mathbf{\text{x}}}_m\}$에는 원소들의 선형 결합으로 만들 수 있는 원소가 포함되어 있으므로, $S$가 선형 독립이라는 기본 가정과 모순이 생긴다.
3. 따라서 $S$의 부분집합 $S^{{}^{\prime }}=\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_k\}$는 선형 독립이다.

 

열 벡터의 특성

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$의 열 벡터 $\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$에 대해 다음이 성립한다.

• $\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$이 선형 독립 $\iff$ $A\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}}$이면 $\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}}$
• ${\mathbb{R}}^m=span\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$ $\iff$ $\mathrm{\forall }\mathbf{\text{b}}\in {\mathbb{R}}^m$, $\mathrm{\exists }\mathbf{\text{x}}$ s.t. $A\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{b}}$

 

역행렬의 존재와 동치인 명제

행렬 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$와 $A$의 열 벡터 $\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$에 대해 다음의 명제들은 동치이다.

• $A$의 역행렬이 존재한다
• $\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}$는 선형 독립이다. $(\because A\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}}\Rightarrow \mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}})$
• ${\mathbb{R}}^n=span\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_n\}(\because A\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{b}}\Rightarrow \mathbf{\text{x}}=A^{-1}\mathbf{\text{b}})$
• $A$의 행 벡터들은 선형 독립이다 $(\because$ $A$의 역행렬이 존재 $\iff$ $A^T$의 역행렬이 존재$)$

 

Fundamental Theorem

$U\subseteq {\mathbb{R}}^n,U=span\{{\mathbf{\text{c}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_m\}$와 $U$에 속하는 $k$개의 선형 독립인 모든 벡터에 대해 $k\le m$이 성립한다.

증명:

1. ${\mathbf{\text{u}}}_1,{\mathbf{\text{u}}}_2,...,{\mathbf{\text{u}}}_k$를 선형 독립인 벡터들도 정의하고, 귀류법을 이용하여 증명하기 위해 $k>m$이라 가정한다.
2. ${\mathbf{\text{u}}}_1={\alpha }_1{\mathbf{\text{c}}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{\text{c}}}_2+\cdots +{\alpha }_m{\mathbf{\text{c}}}_m$이며, ${\mathbf{\text{u}}}_1\ne \mathbf{\text{0}}$이기 때문에 적어도 하나의 ${\alpha }_i$는 0이 아니다.
3. ${\alpha }_1\ne 0$이라 가정하면, ${\mathbf{\text{u}}}_1$으로 ${\mathbf{\text{c}}}_1$을 나타낼 수 있으므로 $U=span\{{\mathbf{\text{u}}}_1,{\mathbf{\text{c}}}_2,...,{\mathbf{\text{c}}}_m\}$이다.
4. 위의 과정 3을 $m$번째 벡터까지 반복하면 $U=span\{{\mathbf{\text{u}}}_1,{\mathbf{\text{u}}}_2,...,{\mathbf{\text{u}}}_m\}$이다.
5. $U=span\{{\mathbf{\text{u}}}_1,{\mathbf{\text{u}}}_2,...,{\mathbf{\text{u}}}_m\}$이므로, ${\mathbf{\text{u}}}_1,{\mathbf{\text{u}}}_2,...,{\mathbf{\text{u}}}_m$의 선형 결합으로 ${\mathbf{\text{u}}}_{m+1}\in U$을 나타낼 수 있다.
6. 따라서 $\{{\mathbf{\text{u}}}_1,{\mathbf{\text{u}}}_2,...,{\mathbf{\text{u}}}_k\}$가 선형 독립이라면, 그것의 부분집합도 선형 독립이라는 공리를 위배하므로 $k\le m$이다.

 

공간의 기저 (Basis)

$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$에 대해 아래를 만족하는 $\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_m\}$을 $U$의 기저 (basis)라고 한다.

• $\mathrm{\forall }i\in \{1,2,...,m\},{\mathbf{\text{x}}}_i\in U$
• $\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_m\}$는 선형 독립
• $U=span\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_m\}$

또한, $\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_m\}$와 $\{{\mathbf{\text{y}}}_1,{\mathbf{\text{y}}}_2,...,{\mathbf{\text{y}}}_k\}$가 모두 $U$의 기저라면, $m=k$이다.

 

공간의 차원 (Dimension)

$\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_m\}$를 기저로 갖는 $U$의 차원 (dimension)은 아래와 같이 정의된다.

dim $U=m$

$U$에 존재하는 $B=\{{\mathbf{\text{x}}}_1,{\mathbf{\text{x}}}_2,...,{\mathbf{\text{x}}}_m\}$에 대하여, dim $U=m$이면 아래가 성립한다.

$B$가 선형 독립 $\iff$ $U=spanB$

 

부분공간과 차원

$U$와 $W$가 각각 ${\mathbb{R}}^n$의 부분공간이고, $U\subseteq W$이면 아래가 성립한다.

• dim $U$ $\le$ dim $W$
• dim $U$ = dim $W$ $\iff$ $U=W$