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수학/선형대수학4

[선형대수학] - 행렬의 유사성 (Similarity)과 대각화 (Diagonalization) 유사 행렬 (Similar Matrix)두 정방행렬 (square matrix) $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$에 대해 다음을 만족하면, $A$와 $B$는 유사 행렬 관계에 있다고 하며 $A \sim B$라 표기한다.$\exists P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ s.t. $B = P^{-1}AP$유사 행렬의 정의에 따라 다음이 성립한다.$\forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}, A \sim A$$A \sim B \Rightarrow B \sim A \; (\because B = P^{-1}AP \Rightarrow A = PBP^{-1} = Q^{-1}BQ)$$A \sim B$ and $B \sim C \Rightarro.. 2024. 10. 31.
[선형대수학] - 행렬의 열 공간, 행 공간, 계수 (Rank) 열 공간과 행 공간 (Column and Row Spaces)행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 열 벡터를 $\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$라 할 때, $A$의 열 공간 $col \; A \subseteq \mathbb{R}^m$는 다음과 같이 정의된다.$col \; A = span\{\textbf{c}_1, \textbf{c}_2, ..., \textbf{c}_n\}$$A$의 행 벡터를 $\{\textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m\}$이라 할 때, $A$의 행 공간 $row \; A \subseteq \mathbb{R}^n$은 다음과 같이 정의된다.$row \; A = sp.. 2024. 10. 24.
[선형대수학] - 직교성 (Orthogonality) 코시-슈바르츠 부등식 (Cauchy-Schwarz Inequality)$\textbf{x}, \textbf{y} \in \mathbb{R}^n$에 대해 다음이 성립한다.$|\textbf{x} \cdot \textbf{y}| \leq ||\textbf{x}|| ||\textbf{y}||$증명:$\textbf{x}$와 $\textbf{y}$가 이루는 각도를 $\theta$라고 하면, $\textbf{x} \cdot \textbf{y} = ||\textbf{x}|| ||\textbf{y}|| \cos\theta$이다.$|\cos\theta| \leq 1$이므로 $|\textbf{x} \cdot \textbf{y}| \leq ||\textbf{x}|| ||\textbf{y}||$이다. 삼각 부등식 (Triang.. 2024. 10. 22.
[선형대수학] - 벡터 공간 (Vector Space)의 정의와 성질 $\mathbb{R}^n$의 부분 공간 (Subspace)벡터의 집합 $U$가 다음의 성질을 만족하면, $U$를 $\mathbb{R}^n$의 subspace라고 한다.$\textbf{0} \in U$모든 $\textbf{x}, \textbf{y} \in U$에 대해 $\textbf{x} + \textbf{y} \in U$ (합 연산에 대해 닫힘)모든 $a \in \mathbb{R}$, $\textbf{x} \in U$에 대해 $a\textbf{x} \in U$ (스칼라 곱 연산에 대해 닫힘) Null 공간 (Null Space)행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 null 공간은 아래와 같이 정의된다.null $A = \{\textbf{x} \in \mathbb{R}^n \; .. 2024. 10. 22.

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